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求面积计算法绘制梁的弯矩图?
  提问者:罗敬洋 2013-12-21
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摘要:梁的内力作为梁的设计和检验的基本数据,在工程实际中具有非常重要的地位。教学中梁的内力图绘制,尤其是梁弯矩图的绘制是力学课程的重点。本文依照荷载与内力的微分关系原理,采用面积计算法来计算梁控制面上的弯矩,是一种新的快速绘制梁弯矩图的简便方法。?
关键词:剪力图;弯矩图;面积计算法?
中图分类号:TU223 文献标识码:A

Drawing a Roof Beam's Bending Moment Diagram?
By Using Area Calculating Method

Yang Ronggen Cai Peiyuan Chen Yongtao Li Zhiqiang

(Henan Architectural Engineering School, Zhengzhou 450007,China)

Abstract: The basic data of the internal force in the design and test of a roof beam has a very important standing in practical engineering construction, so du- ring the teaching process, the drawing of a roof beam's internal force, especially the drawing of its bending moment diagram is the focal point in mechanic lectures. According to the differencial relation principle of load and internal force, to calculate the bending moment of a roof beam's controlling surface by using the area calculating method is a newly simple and fast method to draw a diagram of the bending moment of a roof beam. ?Key words: shearing force diagram; bending moment diagram;area calculating Method

一、引 论?
为了计算梁的强度和刚度,不仅要计算梁任意横截面上的剪力和弯矩,还必须知道 剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。在一般情况下,梁截面位置不同,则剪力和弯矩也不同。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标X来表示。则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为位置坐标X的函数,即?
Q=Q(x)?
M=M(x)?
剪力方程和弯矩方程可以表明梁上剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。?
为了一目了然地表明剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律,找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置,可以根据剪力方程和弯矩方程绘制梁的剪力图和弯矩图。按选定的比例,用与梁轴线平行的坐标X表示梁沿轴线的截面位置,用与X轴正交的Q(或M)坐标轴表示相应截面的剪力(或弯矩),描点画出Q(X)M(X)所表示的函数图像,分别称为剪力图,弯矩图。在土建工程中,习惯把正剪力画在Q轴的正向,负剪力画在Q轴的负向,并注明(+)(-)号;弯矩图总是画在梁受拉的一侧,并注明(+)(-)号。

二、剪力、弯矩与荷载之间的微分关系?
由力学分析可得剪力、弯矩与荷载之间存在有以下微分关系:?
dQ(x)/dx=q(x) ?
dM(x)/dx=Q(x)?
由数学知识可知,上两式的几何意义是:剪力图上任一点的切线的斜率等于梁上对应点处的荷载集度;弯矩图上任一点的切线的斜率等于梁在对应截面上剪力。?
利用M(x)、Q(x)、q(x)之间的关系及其几何意义,可以分析画Q图和M图的一些规律,下面分析集中情况:?
1.在无分布荷载作用的梁段,由于Q(x)为常数,M(x)为一次函数,因此剪力图为一条平行于X轴的直线,弯矩图为一条斜直线。?
2.在有均布荷载作用的梁段,由于Q(x)为一次函数,M(x)为二次函数,因此剪力图为一条斜直线,当q(x)< 0时,Q图为右下斜直线,或当q(x)> 0时,Q图为右上斜直线,弯矩图为一条下凸或上凸的二次曲线。?
注意:根据M图的坐标规则,当q(x)向下时,对应梁段M 图为下凸曲线;当q(x)向上时,对应梁的M 图为上凸曲线。?
3.由dM(x)/d(x)=Q(x)可知,在Q(x)=0处,M(x)有极值。即剪力等于零的截面上弯矩具有极值(极大值或极小值)。?
4.在集中力作用的截面上,由于此处Q(x)函数不连续,截面左右两侧剪力值不相等,因此剪力图发生突变,且突变值等于该集中力的大小,其突变方向与集中力方向一致。?
5.在集中力偶作用的截面上,由于此处M(x)函数不连续,截面左右两侧弯矩值不相等,因此弯矩图有突变,且突变值等于该集中力偶矩。?
根据梁段落上的外力情况,利用以上各项规律就可判断出该梁剪力图和弯矩图的形状,只要确定梁的控制截面并求出控制截面的剪力值和弯矩值,就可画出剪力图和弯矩图,而不需要列剪力方程和弯矩方程,因而非常简便。

三、面 积 计 算 法?
由与微分关系相对应的积分关系还可得:若梁上无外力偶作用,则指定截面上的弯矩等于该截面左侧(右侧)部分上剪力图的面积代数和:?
M=∑QiLi?
这里:?
(1) 若取截面左侧部分为研究对象,则正的剪力对应于正的面积,负的剪力对应于负的面积;若取右侧部分为研究对象,则正好与之相反。?
(2) 剪力图长的因次为[长度],其高度的因次为[力],故剪力图面积的因次为[力]×[长度]为弯矩的因次相同。?
(3) 两截面之间若有集中力作用。此方法仍然适用。

四、面积计算法应用说明?
(一) 单个集中力作用下的弯矩图?
例1如图一所示:



图一


剪力图为一条平行于X轴的直线位于Q轴的负向。可知弯矩图为一条斜直线,由面积法绘制弯矩图的结论可知?
MB= -F×L=-FL?
则可直接绘制弯矩图如图1所示。?
例2如图二所示


图二

由剪力图可知弯矩图为一斜直线。由先按弯矩图在所取截面左侧。左侧有正剪力对应正面积,负剪力对应的面积则:?
MC左= Pb×a/L=pab/L?
∴弯矩从A点弯矩为零开始到B点弯矩为pab/L的斜直线。?
MB左=pab/L -pab/L=0?
所以弯矩图由P点开始向B点弯矩为零过渡由上可得由上可得该简支梁弯矩。如图2所示。?
同样取右侧也是一样的:?
MC右=Pab/L?
MA右=pab/L-pab/L=0?
注:右侧正剪力对应负的面积,负剪力对应正的面积。以后的几种情况都是用该方法确定面积值的正负。?
以上两例为一个集中力作用下的悬臂梁和简支梁的弯矩图的绘制。下面为大家介绍几种常见情况。?
(二)多种力作用下的弯矩图绘制。?
例3如图三所示:

图三

对于AB段:?
先按截面左侧计算因为剪力图为斜直线。?
所以对应的弯矩应为下凸直线。 AB段          ?
对应的剪力图面积为:?
-8×2×1/2=-8?
MB左=-8?
对于BC段,CD段?
因为剪力图为平行于X轴的直线所以对应的弯矩图为斜直线?
MC左=-8+12×2=16?
MD左=16-8×2=0?
描点连接AB段BC段CD段全梁M图,如图3所示。?
(三)有集中力偶作用下的弯矩图?
例4如图四所示

图四

对于AB段:因为剪力图为平行X轴的直线,所以对应的弯矩图应为斜直线?
MA=0?                      
MA 左=6×2=12?
对于BC段:? 
剪力图为斜直线 则弯矩图为下凸,二次抛物线又因为D点剪力为零,所以抛物线极值在该处。由三角形相似可得:?
BD/DC=6/8?
BD+DC=4 ?
得BD=1 DC=3?
MD右=18×3×1/2=27?
所以D 点对应的极值为27KN•M?
因为在B点处有集中力偶作用,所以B点处的M应有突变其值等于力偶值该力偶为顺时针,所以B点处的M值由原来12KNM突变为24KNM描点连接AB段BC段即为该梁弯矩图如图4所示。 ? 四)特殊形式?
例5,如图为斜直线?
AC段:?
剪力为平行于X轴的直线,所以弯矩图为斜直线。?
MC左=F×A=FA?
CB段:

图五

剪力为零,但由于梁段受集中力偶作用,整段的弯矩值等于力偶值,所以为平行于X轴的直线。?
对于这种剪力为零的梁段的特殊形式,若是没有集中力作用,面积法同样适用。若是有集中力偶作用。则弯矩为一条平行X轴,直线距离X轴的为弯矩值,正负由力偶的正负来确定。?

五、结 语?
通过理论分析和实例验证,面积计算法绘制弯矩图不失为一种简便的有效绘制弯矩图的方法,而且此方法比起截面法和简易法绘制弯矩图来说,有许多无法替代的优点,固而此方法可以推荐使用。?
参考文献:?
[1]李龙堂《材料力学》,辽源煤炭工业学校1985年9月第一版.?
[2]李芝祥《应用建筑力学》,云南大学出版社 2003年6月 第一版.

  回答者:康凌诗 2013-12-26
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